Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел

Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

    \[|x+3|=2x-3.\]

Решение. Рассмотрим первый случай x+3\ge0, то есть x\ge-3 (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид x+3=2x-3, его решение x=6. Это решение удовлетворяет условию x\ge-3. Таким образом, 6 — корень исходного уравнения.

Во втором случае x+3<0, то есть x<-3. В этом случае уравнение преобразуется к виду -x-3=2x-3, его решение x=0. Этот корень не удовлетворяет условию x<-3, таким образом, 0 не является корнем исходного уравнения.

Ответ. \{6\}.

Пример 2. Решить уравнение

    \[|x^2-2x-4|=3x-2.\]

Решение. Сначала найдем корни уравнения x^2-2x-4=0. Это 1\pm\sqrt{5}. Следовательно, условие x^2-2x-4\ge0 выполняется при x\le1-\sqrt{5} и при x\ge1+\sqrt{5}, а условие x^2-2x-4<0 — при 1-\sqrt{5}<1+\sqrt{5}. Рассмотрим два случая:

1) x\in\left(-\infty;1-\sqrt{5}\right]\cup\left[1+\sqrt{5};+\infty\right).

Исходное уравнение на этом множестве имеет вид x^2-2x-4=3x-2.

Его корни \displaystyle x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}. Из них только \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} попадает под наш случай. Докажем это:

    \[\begin{array}{c} \displaystyle 1-\sqrt{5}<\frac{5-\sqrt{33}}{2}<1+\sqrt{5}\Leftrightarrow\[2mm] \Leftrightarrow2-2\sqrt{5}<5-\sqrt{33}<2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\ \Leftrightarrow-3-2\sqrt{5}<-\sqrt{33}<-3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\ \Leftrightarrow3+2\sqrt{5}>\sqrt{33}>3-2\sqrt{5}. \end{array}\]

Так как \sqrt{5}>2, то 3-2\sqrt{5}<0, и, действительно, \sqrt{33}>0>3-2\sqrt{5}. Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):

    \[\sqrt{33}<3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow33<9+12\sqrt{5}+20.\]

Так как 12\sqrt{5}>4, последнее неравенство также выполняется, и корень \displaystyle\frac{5-\sqrt{33}}{2} — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

    \[1+\sqrt{5}<\frac{5+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow2+2\sqrt{5}<5+\sqrt{33}\Leftrightarrow 2\sqrt{5}<3+\sqrt{33}\Leftrightarrow\]

20<9+6\sqrt{33}+33 следует, что \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} является корнем уравнения.

2) x\in\left(1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right).

В этом случае x^2-2x-4<0, и от исходного уравнения мы переходим к уравнению -x^2+2x+4=3x-2. Решения этого уравнения: -3 и 2. Из них только число 2 попадает на указанный промежуток:

    \[\begin{array}{c} 0<2<1+\sqrt{5}\Leftrightarrow1<\sqrt{5},\ -3<1-\sqrt{5}\Leftrightarrow3>-1+\sqrt{5}\Leftrightarrow4>\sqrt{5}, \end{array}\]

корень -3 — посторонний.

Ответ. \displaystyle\left\{2;\frac{5+\sqrt{33}}{2}\right\}
Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.

Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :

    \[[x^2-2x-4=(3x-2); 3x-2\ge0]\]

и

    \[[x^2-2x-4=-(3x-2); 3x-2\ge0].\]

Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом 2/3, что намного проще.

Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.

Пример 3. Решить уравнение

    \[|x-1|+|x-2|=x+3.\]

Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — 1 и 2. Числовая ось разбивается точками 1 и 2 на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рис. 12

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) x\ge2. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду x-1+x-2=x+3. Решение этого уравнения x=6. Этот корень попадает на промежуток [2,+\infty) и поэтому является решением исходного уравнения.

2) 1\le x<2. Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду x-1+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=-2. Поскольку -2 не попадает на рассматриваемый промежуток [1,2), то этот корень — посторонний.

3) x<1. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду 1-x+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=0. Этот корень принадлежит промежутку (-\infty,1) и является решением исходного уравнения.

Ответ. \{0;6\}.

Пример 4. Решить уравнение

    \[||x+3|+x|=1.\]

Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) x\ge-3 и 2) x<-3.

1) В этом случае |x+3|=x+3, и исходное уравнение преобразуется к виду |2x+3|=1. Решая это уравнение, получаем корни -2 и -1.

2) При x<-3 раскрываем внутренний модуль: |x+3|=-x-3. Получаем уравнение |-3|=1, которое решений не имеет.

Ответ. \{-2;-1\}.

Пример 5. Решить уравнение

    \[|x-3|+|x+3|=6.\]

Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: |x-3| — это расстояние между точкой x и точкой 3, |x+3| — расстояние между точкой x и точкой -3. Таким образом, |x-3|+|x+3| — это сумма расстояний от точки x до точек -3 и 3. Поскольку расстояние между точками -3 и 3 равно 6, то любая точка x, лежащая на числовой оси между точками -3 и 3, удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка [-3;3], удовлетворяющих условию, не существует, поскольку сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше 6.

Ответ. [-3;3].

Задачи. Решите уравнения:

1. |x+8|+|x-8|=16.

2. |x^2-3x|+x=2.

3. \displaystyle\frac{x+1}{|x-1|}-5\frac{|x-1|}{x+1}+4=0.

4. ||x+2|+x|=1.


Источник: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/10-reshenie-uravnenij-s-modulem/



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Решение уравнений с модулем Математика, которая - Конкурс газеты супер



Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел Отношение больше на множестве целых неотрицательных чисел